El teorema del mono infinito

En el lenguaje cotidiano, el término infinito infinitose utiliza con relativa frecuencia y casi siempre para describir el superlativo de grande o extenso. Como normalmente de lo que se trata es de entenderse cuando dos personas se comunican, no hay problema en aceptar que dicho término infinito pueda interpretarse como queda señalado. Otra cosa, no obstante, es transportar el concepto al mundo físico en el que nos desenvolvemos. Por ejemplo, cuando alguna teoría sostiene que el universo es infinito.

Definir infinito atendiendo al DLE es coincidir con lo dicho en el párrafo previo, es decir, (1. adj.) que no tiene ni puede tener fin o término, o también, (2. adj.) muy numeroso o enorme. Pero ¿tiene alguna implicación gestionar en la vida cotidiana un adjetivo como este? ¿Qué puede suponer moverse en un universo infinito?

Lo abstracto, como este y otros términos, puede confundir si tratamos de hacerlo concreto. A mí, cuando se aplica el concepto de infinito a la vida real (la habitual o cotidiana) siempre me viene a la cabeza un bien conocido teorema, en matemática, llamado del mono infinito. Es bueno recordar ahora que en esta disciplina del saber humano cuando se habla de teorema se está considerando una afirmación que es demostrable y no sujeta a interpretaciones una vez aceptado el sistema axiomático en el que se basa la afirmación. Es decir, que no tengo otra alternativa que la de exponer la demostración de lo que a continuación afirmo si lo que pretendo es que el lector me crea inequívocamente. Por fortuna, dicha demostración no supone tener otros conocimientos que los básicos de una rama de la matemática llamada la teoría de la probabilidad.

En primer lugar, dejemos las cosas claras. Infinito desde otra perspectiva que la del DLE es un concepto que se aplica al tamaño de un conjunto de objetos (matemáticos o no). Todo el mundo aprecia que el tamaño del conjunto A = {a, b, c, d} es mayor que el de X = {x, y} o el de A = {b, c, d}, sencillamente porque, empleando algún tecnicismo,  card (A) = 4, card (X) = 2 y card (A1) = 3, donde card es la abreviación de número de elementos del conjunto. Es también cierto que mucha gente en algún momento de su vida se ha enfrentado a una paradoja cuando ha pensado en los números naturales (que sirven para contar) ℕ = {1, 2, 3, 4, …} y en un subconjunto de ellos, el de los números naturales pares 2ℕ = {2, 4, 6, 8, …}. Paradoja en el sentido de que contrariamente a lo que sucede, por ejemplo, con el anterior conjunto A y un subconjunto suyo como A1 resulta que los tamaños de los conjuntos ℕ y 2ℕ son el mismo, es decir, infinito. De aquí que, matemáticamente, se diga que un conjunto es infinito (tiene tamaño infinito) cuando alguno de sus subconjuntos es también de tamaño infinito.

El teorema del mono infinito afirma que un mono que pulsa al azar las teclas de un teclado durante una cantidad de tiempo infinito será capaz de teclear cualquier texto; por ejemplo, El Quijote de Miguel de Cervantes. Es evidente que en nuestra creencia de vivir en un sofisticado mundo dicha afirmación es sorprendente (o quizás no por ser precisamente dicho mundo sofisticado), incluso diría que constituye un sacrilegio cuando consideramos nuestra sagrada inteligencia. Sin embargo, como podremos ver fácilmente, no es más que una consecuencia de aplicar el concepto de infinito a una situación física como la de disponer de un mono, un teclado y pulsaciones sobre éste en un sin fin de ocasiones.

Parece que fue E. Borel (1913) uno de los primeros matemáticos en enunciar el teorema. Su demostración supone aceptar el sistema axiomático de Kolmogorov sobre el que se basa la teoría de la probabilidad. Así, recordemos que al lanzar una moneda no trucada y observar el resultado, se puede estar interesado en el suceso S = ‘salir cara’ cuya probabilidad es 0.5, P(S) = 0.5, sin más que considerar el cociente de casos favorables (1, cara) entre casos posibles (2, cara y cruz). También, se recordará fácilmente que si lanzamos, por ejemplo, tres veces la moneda no trucada, y de manera independiente (el resultado de un lanzamiento no influye en el resultado del siguiente lanzamiento), al preguntarse por la probabilidad de que se obtengan 3 caras lo que hacemos es multiplicar las probabilidades de cada suceso individual, es decir, P

(S1 ∩ S2 ∩ S3) = 0.5, en donde Sj salir cara en el j-ésimo lanzamiento, j = 1, 2, 3. Finalmente, debe recordarse que la probabilidad de un suceso V y la de su complemento Vc (esto es, que no se observe el suceso V) se relacionan fácilmente pues P(V) = 1 – P(Vc) en dicho sistema de Kolmogorov. De aquí que en el caso del lanzamiento de la moneda resulta que Sc = ‘salir cruz (o no salir cara)’ resulta que tiene probabilidad P(Sc) = 0.5 = 1 – P(S).

Supongamos ahora que nuestro teclado tiene 65 teclas. Si las teclas se pulsan al azar e independientemente, P(Ti) = 1 /65, i = 1, …, 65, siendo el suceso Ti = ‘pulsar la tecla Ti’. Supongamos además que se desea calcular la probabilidad P(E) de ‘escribir infinito’ (E); resulta que dicha probabilidad es P(E) = (1/65) al constar dicha palabra de 8 letras todas igualmente probables de ser tecleadas de forma independiente y al azar. Puede comprobarse que (1/65) ≌ 1/318 644 812 890 625, es decir, que el mono tiene 1 posibilidad entre 318 trillones aproximadamente de escribir infinito cuando teclea palabras o conjuntos de 8 letras, un número pequeñísimo pero no 0.

Es claro que podemos pensar en el suceso complementario Ec = ‘no escribir infinito (cuando se teclean conjuntos de 8 letras)’ cuya probabilidad es, como se ha visto, P(Ec) = 1- P(E) = 1-(1/65), ciertamente un número próximo a 1. En otras palabras, que el mono, cuando se dispone a teclear por primera vez, el hecho de que no escriba infinito sucederá casi el 100% de las veces.

Recordemos, no obstante, que el mono puede probar a teclear infinito un número de veces sin fininfinito. Siempre considerando que se teclea de forma independiente y al azar, la probabilidad de no teclear infinito una segunda vez es siempre,

P(Ec) = 1- P(E) = 1-(1/65),

y la de no haber tecleado infinito la primera y la segunda vez (siendo los dos ensayos independientes),

P(Ec) P(Ec) = [P(Ec)] = [1-(1/65)].

De esta forma la probabilidad de no haber tecleado infinito en n (n > 1) veces independientes entre sí, es,

[P(Ec)] = [1-(1/65)]n.

Puede comprobarse que con n = 1 000 000, la anterior probabilidad, es decir la probabilidad de que el mono no escriba infinito en 1 000 000 de ensayos es aproximadamente 0,9999, casi el 100% de las veces. Cuando n = 10 000 000 000, dicha probabilidad de no escribir infinito es 0.53 aproximadamente, y si n = 100 000 000 000, entonces la probabilidad es 0,0017 siempre aproximadamente. En otras palabras, al ir haciéndose el número de veces n cada vez mayor (n → ∞), resulta que la probabilidad de no haber escrito infinito se aproxima a 0. Claramente, entonces, la probabilidad de haberlo escrito en alguna ocasión se aproxima a 1, al 100%.

No resulta difícil considerar que en vez de una palabra concreta como infinito se pueda pensar en una palabra cualquiera de 8 letrasinfinito, de más de 8, o de menos de 8 letras, así como tampoco es complicado imaginar la demostración de que en lugar de una sola palabra tratemos un conjunto de tamaño cualesquiera de palabras.

Que sucedan este tipo de cosas en universos en donde el concepto de infinito se traduce a la vida cotidiana (real) puede ser positivo, sin duda. Por ejemplo, como cura de humildad para la especie humana es un buen principio. De otra parte, es claro que, de momento, no se ha podido observar un mono perpetuándose en el tiempo sin límite alguno y pulsando sin parar un teclado. Esto, a su vez, podría ser un indicio de que los universos infinitos mejor es dejarlos reposar en el terreno de lo abstracto, si bien con evidente sentido en el terreno de la formalización matemática en distintos fenómenos físicos, incluidos los biológicos. Por cierto, en realidad el simio de cuya existencia aún no se tiene noticia, es una metáfora para señalar un dispositivo con la capacidad de pulsar al azar e independientemente las teclas de un teclado.